Lógica de predicados: Nociones básicas

Componentes de la oración.

Nombre: Es una expresión lingüística que refiere a un objeto en particular. Por ejemplo: Dua Lipa, Lionel Messi, Cristiano Ronaldo.

Predicado lógico: Es una clase o conjunto que engloba a diferentes elementos. Se usa para decir algo de algo. Los predicados lógicos representan clases o conjuntos, propiedades o atributos de los objetos. Se representan con letras mayúsculas (A, B, C). Por ejemplo:

…es ingeniero (el conjunto que engloba es el de los ingenieros). Por consiguiente, I= es ingeniero.

…es número impar (la propiedad que engloba es la de los impares). Por consiguiente, N=es número impar.

...es risueño (la propiedad que engloba es la de los risueños). Por consiguiente, R= es risueño.

…es tigre de bengala (la clase que engloba es la de los tigres de bengala). Por consiguiente, T= es tigre de bengala.

Asimismo, los predicados lógicos se subdividen en dos clases:

• Predicado monádico: Es el predicado lógico con un solo nombre. Le asigna una propiedad, un atributo o un grupo al sujeto. Clasifica al sujeto dentro de un grupo en particular. Por ejemplo:
• “Selena Gómez es cantante”. Selena Gómez es el sujeto, que será representado con la letra “a” y cantante es el conjunto al que pertenece Selena Gómez, que será representado por la letra “C”. Por consiguiente, “Ca”= Selena Gómez (“a”) es cantante (“C”).  

• Predicado diádico: Es el predicado lógico que contiene dos hombres. Ocurre cuando la característica o atributo se da necesariamente entre más de una persona. Por ejemplo:
• “Kim Kardashian es cónyuge de Kanye West”. Cónyuge es la característica que engloba a los dos sujetos y será representada con la letra “C”. Kim Kardashian es un sujeto y será representado por la letra “a”. Kanye West es el otro sujeto y será representado por la letra “b”. Por consiguiente, “Cab”= Kim Kardashian (“a”) es cónyuge (“C”) de Kanye West (“b”).   

Tipos de representación de los sujetos.

Constantes individuales: Vendrían a ser los nombres en la oración. Representa a un sujeto en particular que es identificable del resto del conjunto. Para nombrarlos, se utiliza una letra minúscula que sirve como abreviación del nombre (a, b, c). Por ejemplo:

“Will Smith es actor”. La constante individual es Will Smith. Por consiguiente, “a”= Will Smith. 

“Rihanna es cantante”. La constante individual es Rihanna. Por consiguiente, “b”= Rihanna.   

Variables individuales: Representan un objeto individual arbitrario del universo del discurso. Son objetos que no se pueden identificar del conjunto. Estas variables son genéricas. Se presentan con estas variables: x, y, z. Por ejemplo:

“Alguien es una celebridad poderosa, según la revista Forbes”. Hay por lo menos un “x” que es una celebridad poderosa.

“Alguien participó en el partido de los Raptors contra los Warriors”. Hay por lo menos un “y” que participó en el partido.

“Las sudaderas del armario son marca Supreme”. Todos los “z” que pertenezcan al conjunto de “sudaderas del armario” pertenecen también a la clase “marca Supreme”.   

Tipos de fórmulas.

Fórmula abierta: Tiene al menos una variable. Ocurre cuando la oración tiene como sujeto una variable individual. Por ejemplo:

x participó en el partido de los Raptors contra los Warriors.

y es marca Supreme.  

Fórmula cerrada: No tiene variables o no tiene variables libres. Se le llama también oración de lógica proposicional, ya que pueden simbolizar oraciones de algún lenguaje natural y tienen valor de verdad o falsedad. Por otro lado, tiene como sujeto una constante individual. Por ejemplo:

Nietzsche era filósofo.

Fidias era escultor.

Tipos de variables.

Variable ligada: Es la variable que está mencionada por un cuantificador o que cae bajo su alcance. Por ejemplo:

“∀x (Fx v Hx)”. En este caso, “Fx” y “Hx” son variables ligadas al cuantificador “∀x”.   

Variable libre: Es la variable que no está mencionada por un cuantificador o que no cae bajo su alcance. Por ejemplo:

“∀x (Ax v By)”. En este caso, “By” es una variable libre, ya que no tiene la misma variable que el cuantificador “∀x”  

Cuantificadores. Es una expresión lingüística que determina cuántos objetos satisfacen una fórmula abierta. Por otro lado, los cuantificadores tienen el mismo alcance que la negación. Expresiones como: “todo”, “la mayoría”, “muchos”, “pocos”, “alguno”, “cada”, etc. son cuantificadores. Por ejemplo:

Si “Fx” es una fórmula abierta y “∀” es un cuantificador. Entonces, “∀x (Fx)” indica cuántos objetos (“x”) del dominio (cantidad según “∀”) tienen la propiedad expresada por “F”.    

Cuantificador universal (∀x): Dentro de él solo puede aparecer cualquier variable individual. “Para todo…”, “para cualquiera…”, “para cada…”. 

Cuantificador particular o existencial (∃x): Dentro de él debe aparecer cualquier variable individual. “para algún…”, “algunos”.

Reglas para la formación de fórmulas bien formadas.

• Cualquier letra predicativa, representación del predicado lógico, que va acompañada de una variable o constante individual es una fórmula atómica de lógica de predicados. Por consiguiente, es una fórmula bien formada. Por ejemplo: “Ca”  
•  Si “Ca” es una fórmula bien formada, “¬Ca” también es una fórmula bien formada.
•  Si “Ca” y “Fb” son fórmulas bien formadas, “Ca v Fb”, “Ca ∧ Fb”, “Ca → Fb” y “Ca ↔ Fb” son fórmulas bien formadas.
• Si “Fx” es una fórmula bien formada y “x” es una variable, “(∀x)Fx” y (∃x)Fx son fórmulas bien formadas.
• Si una constante individual o una variable individual van solas, no es una fórmula bien formada, ya que requiere de un predicado lógico.
•  Si un predicado lógico va solo, no es una fórmula bien formada, ya que requiere de una constante individual o una variable individual.
• Debe existir jerarquía entre los símbolos (v, →, ↔,  ∧). La jerarquización se debe dar a través del paréntesis o de dos puntos en los lados laterales del símbolo.
• Si el cuantificador no acompaña a alguna fórmula abierta o cerrada, es una fórmula mal formada. 
• Necesariamente debe haber algún símbolo (v, →, ↔,  ∧) después de cada fórmula abierta o cerrada.

Ejercicios de fórmulas bien formadas.

A continuación: Pasos para formalizar razonamientos en el lenguaje de lógica de predicados.